伪逆

伪逆（Pseudoinverse）是把矩阵求逆推广到非方阵或不可逆矩阵上的线性代数工具，最常见的是 Moore-Penrose 伪逆。

在最小二乘法中，伪逆可以用来求解最小范数解或最小二乘解。在机器人 IK 中，雅可比矩阵通常不是可直接求逆的方阵，因此雅可比伪逆常用于把末端误差映射为关节增量；DLS 可以看作对这种伪逆思路加入阻尼，使接近奇异位形时的输出更稳定。

和普通逆的区别

普通矩阵逆要求矩阵是方阵且可逆；伪逆可以用于非方阵、秩亏或不可逆矩阵。常记为 $A^{+}$。对线性方程 $Ax=b$：

• 若方程超定，$x=A^{+}b$ 给出最小二乘意义下的解。
• 若方程欠定，$x=A^{+}b$ 给出满足约束的最小范数解。
• 若 $A$ 是满秩可逆方阵，伪逆退化为普通逆。

SVD 视角

Moore-Penrose 伪逆常通过奇异值分解计算：

$A=U\Sigma V^T$

则：

$A^{+}=V{\Sigma }^{+}{U}^T$

${\Sigma }^{+}$ 会把非零奇异值取倒数。问题在于，当某些奇异值非常小但不是 0 时，取倒数会变得很大，从而放大噪声和误差。这正是机器人 IK 接近奇异位形时关节增量容易爆炸的原因之一。

在 IK 中的含义

雅可比伪逆更新可写成：

$\Delta q=J^{+}\Delta x$

它在很多情况下简单有效，但不自带关节限位、碰撞、速度限制或解连续性约束。实际控制中常把伪逆解作为基础，再叠加 DLS、零空间任务、限幅和安全过滤。

相关术语

• 最小二乘法
• DLS
• 雅可比矩阵
• IK
• 奇异位形