雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是在当前机器人配置附近，描述关节空间变量的微小变化如何影响末端执行器位置、姿态或速度的局部线性映射。
在机械臂中，它常写成 ：关节速度 通过雅可比矩阵映射为末端速度 。许多 IK 求解器会用雅可比矩阵迭代逼近目标位姿；当矩阵秩下降时，机器人可能进入奇异位形，末端某些方向上的控制能力会变差。
速度映射
对 自由度机械臂，如果末端速度用 6 维向量表示：
那么雅可比矩阵通常是 ：
前 3 行对应线速度，后 3 行对应角速度。对于只控制位置或平面任务的系统，也可能只取其中部分行。
力和力矩映射
雅可比不仅用于速度。末端外力 和关节力矩 之间常用转置关系：
这解释了为什么雅可比同时出现在运动学和机器人动力学中：它把末端空间的速度/力与关节空间的速度/力矩联系起来。
在 IK 中的作用
数值 IK 会把当前位姿误差 近似成：
然后求一个关节增量 。当 接近秩亏时，普通伪逆会放大误差；DLS 通过阻尼项降低这种放大。
实用判断
- 雅可比列数等于关节自由度数，行数取决于要控制的位置/姿态维度。
- 条件数或最小奇异值可以用来判断是否接近奇异。
- 冗余机械臂的雅可比有零空间，可用于在不改变末端任务的情况下调整肘部姿态或避开限位。