SLERP

在计算机图形学和机器人学中，SLERP 是一种用于在两个单位四元数之间进行平滑插值的技术，常用于动画和路径规划。

数学定义

给定两个单位四元数 $q_0$ 和 $q_1$，参数 $t\in [0,1]$，SLERP 定义为：

$\text{slerp}(q_0,q_1,t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_0+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_1$

其中 $\theta =\arccos (q_0\cdot q_1)$ 是两个四元数之间的夹角。当 $\theta$ 接近零时，SLERP 退化为线性插值（LERP + 归一化）以避免数值不稳定。

几何意义

SLERP 在四维超球面 $S^3$ 上沿大圆弧进行等速运动，对应到三维旋转空间中就是在两个旋转之间走最短路径（测地线），且角速度恒定。这与简单的线性插值后归一化（NLERP）不同，NLERP 的角速度在端点处快、中间慢，不够均匀。

实际使用注意

• 双重覆盖：四元数 $q$ 和 $-q$ 表示同一旋转。插值前应检查 $q_0\cdot q_1<0$，若是则取反其中一个，确保走最短弧
• 小角度：当 $\theta <ϵ$ 时，使用线性插值近似，避免 $\sin \theta \approx 0$ 导致的除零
• 多段插值：对多个旋转关键帧做分段 SLERP 只能保证 $C^0$ 连续。若需要更平滑的过渡，可使用 SQUAD（Spherical Quadrangle）等高阶插值方法

应用场景

• 机器人路径规划：在 末端执行器 的姿态规划中，使用 SLERP 在关键位姿之间生成平滑的旋转轨迹
• 骨骼动画：游戏引擎和动画系统中对关节旋转进行插值
• 相机运动：视频制作和 VR 中实现平滑的视角过渡
• 传感器数据对齐：在 多传感器融合 中，对异步到达的姿态数据进行时间插值