11.随机增量法

引入

随机增量算法是计算几何的一个重要算法，它对理论知识要求不高，算法时间复杂度低，应用范围广大。

增量法 (Incremental Algorithm) 的思想与第一数学归纳法类似，它的本质是将一个问题化为规模刚好小一层的子问题。解决子问题后加入当前的对象。写成递归式是：

增量法形式简洁，可以应用于许多的几何题目中。

增量法往往结合随机化，可以避免最坏情况的出现。

最小圆覆盖问题

题意描述

在一个平面上有 $n$ 个点，求一个半径最小的圆，能覆盖所有的点。

过程

假设圆 $O$ 是前 $i-1$ 个点的最小覆盖圆，加入第 $i$ 个点，如果在圆内或边上则什么也不做。否则，新得到的最小覆盖圆肯定经过第 $i$ 个点。

然后以第 $i$ 个点为基础（半径为 $0$），重复以上过程依次加入第 $j$ 个点，若第 $j$ 个点在圆外，则最小覆盖圆必经过第 $j$ 个点。

重复以上步骤。（因为最多需要三个点来确定这个最小覆盖圆，所以重复三次）

遍历完所有点之后，所得到的圆就是覆盖所有点得最小圆。

性质

时间复杂度 $O(n)$，证明详见参考资料。

空间复杂度 $O(n)$

实现

代码实现

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int n;
double r;
 
struct point {
  double x, y;
} p[100005], o;
 
double sqr(double x) { return x * x; }
 
double dis(point a, point b) { return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y)); }
 
bool cmp(double a, double b) { return fabs(a - b) < 1e-8; }
 
point geto(point a, point b, point c) {
  double a1, a2, b1, b2, c1, c2;
  point ans;
  a1 = 2 * (b.x - a.x), b1 = 2 * (b.y - a.y),
  c1 = sqr(b.x) - sqr(a.x) + sqr(b.y) - sqr(a.y);
  a2 = 2 * (c.x - a.x), b2 = 2 * (c.y - a.y),
  c2 = sqr(c.x) - sqr(a.x) + sqr(c.y) - sqr(a.y);
  if (cmp(a1, 0)) {
    ans.y = c1 / b1;
    ans.x = (c2 - ans.y * b2) / a2;
  } else if (cmp(b1, 0)) {
    ans.x = c1 / a1;
    ans.y = (c2 - ans.x * a2) / b2;
  } else {
    ans.x = (c2 * b1 - c1 * b2) / (a2 * b1 - a1 * b2);
    ans.y = (c2 * a1 - c1 * a2) / (b2 * a1 - b1 * a2);
  }
  return ans;
}
 
int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
  for (int i = 1; i <= n; i++) swap(p[rand() % n + 1], p[rand() % n + 1]);
  o = p[1];
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (dis(o, p[i]) < r || cmp(dis(o, p[i]), r)) continue;
    o.x = (p[i].x + p[1].x) / 2;
    o.y = (p[i].y + p[1].y) / 2;
    r = dis(p[i], p[1]) / 2;
    for (int j = 2; j < i; j++) {
      if (dis(o, p[j]) < r || cmp(dis(o, p[j]), r)) continue;
      o.x = (p[i].x + p[j].x) / 2;
      o.y = (p[i].y + p[j].y) / 2;
      r = dis(p[i], p[j]) / 2;
      for (int k = 1; k < j; k++) {
        if (dis(o, p[k]) < r || cmp(dis(o, p[k]), r)) continue;
        o = geto(p[i], p[j], p[k]);
        r = dis(o, p[i]);
      }
    }
  }
  printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf", r, o.x, o.y);
  return 0;
}

练习

最小圆覆盖

「HNOI2012」射箭

CodeForces 442E

参考资料与扩展阅读

随机增量算法 - 解轶伦

https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9635757.html

https://www.cise.ufl.edu/~sitharam/COURSES/CG/kreveldnbhd.pdf

https://blog.csdn.net/u014609452/article/details/62039612