24.Prüfer 序列

Note

本文翻译自 e-maxx Prüfer Code。另外解释一下，原文的结点是从 $0$ 开始标号的，本文按照大多数人的习惯改成了从 $1$ 标号。

这篇文章介绍 Prüfer 序列 (Prüfer code)，这是一种将带标号的树用一个唯一的整数序列表示的方法。

使用 Prüfer 序列可以证明凯莱公式(Cayley’s formula)。并且我们也会讲解如何计算在一个图中加边使图连通的方案数。

注意：我们不考虑含有 $1$ 个结点的树。

Prüfer 序列

引入

Prüfer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1, n]$ 中的 $n - 2$ 个整数表示。你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射。常用组合计数问题中。

Heinz Prüfer 于 1918 年发明这个序列来证明凯莱公式。

对树建立 Prüfer 序列

Prüfer 是这样建立的：每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点。重复 $n - 2$ 次后就只剩下两个结点，算法结束。

显然使用堆可以做到 $O (n lo g n)$ 的复杂度

实现

[list2tab]

C++

// 代码摘自原文，结点是从 0 标号的
vector<vector<int>> adj;
 
vector<int> pruefer_code() {
  int n = adj.size();
  set<int> leafs;
  vector<int> degree(n);
  vector<bool> killed(n);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    degree[i] = adj[i].size();
    if (degree[i] == 1) leafs.insert(i);
  }
 
  vector<int> code(n - 2);
  for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
    int leaf = *leafs.begin();
    leafs.erase(leafs.begin());
    killed[leaf] = true;
    int v;
    for (int u : adj[leaf])
      if (!killed[u]) v = u;
    code[i] = v;
    if (--degree[v] == 1) leafs.insert(v);
  }
  return code;
}

Python

# 结点是从 0 标号的
adj = [[]]
 
 
def pruefer_code():
    n = len(adj)
    leafs = set()
    degree = [0] * n
    killed = [False] * n
    for i in range(1, n):
        degree[i] = len(adj[i])
        if degree[i] == 1:
            leafs.intersection(i)
    code = [0] * (n - 2)
    for i in range(1, n - 2):
        leaf = leafs[0]
        leafs.pop()
        killed[leaf] = True
        for u in adj[leaf]:
            if killed[u] == False:
                v = u
        code[i] = v
        if degree[v] == 1:
            degree[v] = degree[v] - 1
            leafs.intersection(v)
    return code

例如，这是一棵 7 个结点的树的 Prüfer 序列构建过程：

最终的序列就是 $2, 2, 3, 3, 2$ 。

当然，也有一个线性的构造算法。

Prüfer 序列的线性构造算法

线性构造的本质就是维护一个指针指向我们将要删除的结点。首先发现，叶结点数是非严格单调递减的，删去一个叶结点，叶结点总数要么不变要么减 1。

于是我们考虑这样一个过程：维护一个指针 $p$ 。初始时 $p$ 指向编号最小的叶结点。同时我们维护每个结点的度数，方便我们知道在删除结点的时侯是否产生新的叶结点。操作如下：

删除 $p$ 指向的结点，并检查是否产生新的叶结点。
如果产生新的叶结点，假设编号为 $x$ ，我们比较 $p, x$ 的大小关系。如果 $x > p$ ，那么不做其他操作；否则就立刻删除 $x$ ，然后检查删除 $x$ 后是否产生新的叶结点，重复 $2$ 步骤，直到未产生新节点或者新节点的编号 $> p$ 。
让指针 $p$ 自增直到遇到一个未被删除叶结点为止；

正确性

循环上述操作 $n - 2$ 次，就完成了序列的构造。接下来考虑算法的正确性。

$p$ 是当前编号最小的叶结点，若删除 $p$ 后未产生叶结点，我们就只能去寻找下一个叶结点；若产生了叶结点 $x$ ：

如果 $x > p$ ，则反正 $p$ 往后扫描都会扫到它，于是不做操作；
如果 $x < p$ ，因为 $p$ 原本就是编号最小的，而 $x$ 比 $p$ 还小，所以 $x$ 就是当前编号最小的叶结点，优先删除。删除 $x$ 继续这样的考虑直到没有更小的叶结点。

算法复杂度分析，发现每条边最多被访问一次（在删度数的时侯），而指针最多遍历每个结点一次，因此复杂度是 $O (n)$ 的。

实现

[list2tab]

C++

// 从原文摘的代码，同样以 0 为起点
vector<vector<int>> adj;
vector<int> parent;
 
void dfs(int v) {
  for (int u : adj[v]) {
    if (u != parent[v]) parent[u] = v, dfs(u);
  }
}
 
vector<int> pruefer_code() {
  int n = adj.size();
  parent.resize(n), parent[n - 1] = -1;
  dfs(n - 1);
 
  int ptr = -1;
  vector<int> degree(n);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    degree[i] = adj[i].size();
    if (degree[i] == 1 && ptr == -1) ptr = i;
  }
 
  vector<int> code(n - 2);
  int leaf = ptr;
  for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
    int next = parent[leaf];
    code[i] = next;
    if (--degree[next] == 1 && next < ptr) {
      leaf = next;
    } else {
      ptr++;
      while (degree[ptr] != 1) ptr++;
      leaf = ptr;
    }
  }
  return code;
}

Python

# 同样以 0 为起点
adj = [[]]
parent = [0] * n
 
 
def dfs(v):
    for u in adj[v]:
        if u != parent[v]:
            parent[u] = v
            dfs(u)
 
 
def pruefer_code():
    n = len(adj)
    parent[n - 1] = -1
    dfs(n - 1)
 
    ptr = -1
    degree = [0] * n
    for i in range(0, n):
        degree[i] = len(adj[i])
        if degree[i] == 1 and ptr == -1:
            ptr = i
 
    code = [0] * (n - 2)
    leaf = ptr
    for i in range(0, n - 2):
        next = parent[leaf]
        code[i] = next
        if degree[next] == 1 and next < ptr:
            degree[next] = degree[next] - 1
            leaf = next
        else:
            ptr = ptr + 1
            while degree[ptr] != 1:
                ptr = ptr + 1
            leaf = ptr
    return code

Prüfer 序列的性质

在构造完 Prüfer 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点 $n$ 。
每个结点在序列中出现的次数是其度数减 $1$ 。（没有出现的就是叶结点）

用 Prüfer 序列重建树

重建树的方法是类似的。根据 Prüfer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。然后也可以得到编号最小的叶结点，而这个结点一定与 Prüfer 序列的第一个数所对应的点连接。然后我们同时将这两个结点的度数减一。

讲到这里也许你已经知道该怎么做了。每次我们选择一个度数为 $1$ 的编号最小的结点，与当前枚举到的 Prüfer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度。到最后我们剩下两个度数为 $1$ 的点，其中一个是结点 $n$ 。把它们连上。使用堆维护这个过程，在节点度数下降的过程中如果发现度数减到 $1$ 就把这个结点添加到堆中，这样做的复杂度是 $O (n lo g n)$ 的。

实现

// 原文摘代码
vector<pair<int, int>> pruefer_decode(vector<int> const& code) {
  int n = code.size() + 2;
  vector<int> degree(n, 1);
  for (int i : code) degree[i]++;
 
  set<int> leaves;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    if (degree[i] == 1) leaves.insert(i);
 
  vector<pair<int, int>> edges;
  for (int v : code) {
    int leaf = *leaves.begin();
    leaves.erase(leaves.begin());
 
    edges.emplace_back(leaf, v);
    if (--degree[v] == 1) leaves.insert(v);
  }
  edges.emplace_back(*leaves.begin(), n - 1);
  return edges;
}

线性时间重建树

同线性构造 Prüfer 序列的方法。在删度数的时侯会产生新的叶结点，于是判断这个叶结点与指针 $p$ 的大小关系，如果更小就优先考虑它。

实现

// 原文摘代码
vector<pair<int, int>> pruefer_decode(vector<int> const& code) {
  int n = code.size() + 2;
  vector<int> degree(n, 1);
  for (int i : code) degree[i]++;
 
  int ptr = 0;
  while (degree[ptr] != 1) ptr++;
  int leaf = ptr;
 
  vector<pair<int, int>> edges;
  for (int v : code) {
    edges.emplace_back(leaf, v);
    if (--degree[v] == 1 && v < ptr) {
      leaf = v;
    } else {
      ptr++;
      while (degree[ptr] != 1) ptr++;
      leaf = ptr;
    }
  }
  edges.emplace_back(leaf, n - 1);
  return edges;
}

通过这些过程其实可以理解，Prüfer 序列与带标号无根树建立了双射关系。

Cayley 公式 (Cayley’s formula)

完全图 $K_{n}$ 有 $n^{n - 2}$ 棵生成树。

怎么证明？方法很多，但是用 Prüfer 序列证是很简单的。任意一个长度为 $n - 2$ 的值域 $[1, n]$ 的整数序列都可以通过 Prüfer 序列双射对应一个生成树，于是方案数就是 $n^{n - 2}$ 。

图连通方案数

Prüfer 序列可能比你想得还强大。它能创造比凯莱公式更通用的公式。比如以下问题：

一个 $n$ 个点 $m$ 条边的带标号无向图有 $k$ 个连通块。我们希望添加 $k - 1$ 条边使得整个图连通。求方案数。

证明

设 $s_{i}$ 表示第 $i$ 个连通块内点的数量。我们考虑对 $k$ 个连通块构造 Prüfer 序列。由于两个连通块之间的连接方法很多，这并不是普通的 Prüfer 序列。于是不妨假设 $d_{i}$ 为第 $i$ 个连通块的度数。由于度数之和是边数的两倍，于是 $\sum_{i = 1}^{k} d_{i} = 2 k - 2$ 。则对于给定的 $d$ 序列构造 Prüfer 序列的方案数是

(d _{1} - 1 , d _{2} - 1 , \dots , d _{k} - 1 k - 2) = \frac{( k - 2 )!}{( d _{1} - 1 )! ( d _{2} - 1 )! \dots ( d _{k} - 1 )!}

对于第 $i$ 个连通块，它的连接方式有 $s_{i}^{d_{i}}$ 种，因此对于给定 $d$ 序列使图连通的方案数是

(d _{1} - 1 , d _{2} - 1 , \dots , d _{k} - 1 k - 2) \cdot i = 1 \prod k s_{i}^{d_{i}}

现在我们要枚举 $d$ 序列，式子变成

d_{i} \geq 1 ， \sum_{i = 1}^{k} d_{i} = 2 k - 2 \sum (d _{1} - 1 , d _{2} - 1 , \dots , d _{k} - 1 k - 2) \cdot i = 1 \prod k s_{i}^{d_{i}}

好的这是一个非常不喜闻乐见的式子。但是别慌！我们有多元二项式定理：

(x_{1} + \dots + x_{m})^{p} = c_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{m} c_{i} = p \sum (c _{1} , c _{2} , \dots , c _{m} p) \cdot i = 1 \prod m x_{i}^{c_{i}}

那么我们对原式做一下换元，设 $e_{i} = d_{i} - 1$ ，显然 $\sum_{i = 1}^{k} e_{i} = k - 2$ ，于是原式变成

e_{i} \geq 0 ， \sum_{i = 1}^{k} e_{i} = k - 2 \sum (e _{1} , e _{2} , \dots , e _{k} k - 2) \cdot i = 1 \prod k s_{i}^{e_{i} + 1}

化简得到

(s_{1} + s_{2} + \dots + s_{k})^{k - 2} \cdot i = 1 \prod k s_{i}

即

n^{k - 2} \cdot i = 1 \prod k s_{i}

为答案。

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