02.枚举

本页面将简要介绍枚举算法。

简介

枚举（英语：Enumerate）是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。

枚举的思想是不断地猜测，从可能的集合中一一尝试，然后再判断题目的条件是否成立。

要点

给出解空间

建立简洁的数学模型。

枚举的时候要想清楚：可能的情况是什么？要枚举哪些要素？

减少枚举的空间

枚举的范围是什么？是所有的内容都需要枚举吗？

在用枚举法解决问题的时候，一定要想清楚这两件事，否则会带来不必要的时间开销。

选择合适的枚举顺序

根据题目判断。比如例题中要求的是最大的符合条件的素数，那自然是从大到小枚举比较合适。

例题

以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子。

例题

给定一个数组，其所有元素互不相同且均不为 $0$。求该数组中和为 $0$ 的数对个数。

解题思路

枚举两个数的代码很容易就可以写出来。

[list2tab]

• C++

  for (int i = 0; i < n; ++i)
    for (int j = 0; j < n; ++j)
      if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

• Python

  for i in range(n):
      for j in range(n):
          if a[i] + a[j] == 0:
              ans += 1

• Java

  for (int i = 0; i < n; ++i)
    for (int j = 0; j < n; ++j)
      if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

来看看枚举的范围如何优化。由于题中没要求数对是有序的，答案就是有序的情况的两倍（考虑如果 (a, b) 是答案，那么 (b, a) 也是答案）。对于这种情况，只需统计人为要求有顺序之后的答案，最后再乘上 $2$ 就好了。

不妨要求第一个数要出现在靠后的位置。代码如下：

[list2tab]

• C++

  for (int i = 0; i < n; ++i)
    for (int j = 0; j < i; ++j)
      if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
  ans *= 2;

• Python

  for i in range(n):
      for j in range(i):
          if a[i] + a[j] == 0:
              ans += 1
  ans *= 2

• Java

  for (int i = 0; i < n; ++i)
      for (int j = 0; j < i; ++j)
          if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
  ans *= 2;

不难发现这里已经减少了 $j$ 的枚举范围，减少了这段代码的时间开销。

我们可以在此之上进一步优化。

两个数是否都一定要枚举出来呢？枚举其中一个数之后，题目的条件已经确定了其他的要素（另一个数）的条件，如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在，就可以省掉枚举后一个数的时间了。较为进阶地，在数据范围允许的情况下，我们可以使用桶 ¹ 记录遍历过的数。

[list2tab]

• C++

  #include <cstring>
  constexpr int MAXN = 100000;  // 此处 MAXN 是数组内元素的界
   
  int solve(int n, int a[]) {
    bool met[MAXN * 2 + 1];  // 创建一个能装下 [-MAXN, MAXN] 的桶
    memset(met, 0, sizeof(met));
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (met[MAXN - a[i]]) ++ans;  // 如果桶内有想要的元素，答案加一
      met[MAXN + a[i]] = true;  // 无论如何，都要把当前元素放进桶里
    }
    return ans * 2;
  }

• Python

  met = [False] * (MAXN * 2 + 1)
  for i in range(n):
      if met[MAXN - a[i]]:
          ans += 1
      met[a[i] + MAXN] = True
  ans *= 2

• Java

  boolean[] met = new boolean[MAXN * 2 + 1];
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (met[MAXN - a[i]]) ++ans;
      met[MAXN + a[i]] = true;
  }
  ans *= 2;

复杂度分析

• 时间复杂度分析：对 $a$ 数组遍历了一遍就能完成题目要求，当 $n$ 足够大的时候时间复杂度为 $O(n)$。
• 空间复杂度分析：$O(n+\max \{|x|:x\in a\})$。

习题

• 2811: 熄灯问题 - OpenJudge

脚注