03.DFS（图论）

引入

DFS 全称是 Depth First Search，中文名是深度优先搜索，是一种用于遍历或搜索树或图的算法。所谓深度优先，就是说每次都尝试向更深的节点走。

该算法讲解时常常与 BFS 并列，但两者除了都能遍历图的连通块以外，用途完全不同，很少有能混用两种算法的情况。

DFS 常常用来指代用递归函数实现的搜索，但实际上两者并不一样。有关该类搜索思想请参阅 DFS（搜索）.

过程

DFS 最显著的特征在于其 递归调用自身。同时与 BFS 类似，DFS 会对其访问过的点打上访问标记，在遍历图时跳过已打过标记的点，以确保 每个点仅访问一次。符合以上两条规则的函数，便是广义上的 DFS。

具体地说，DFS 大致结构如下：

DFS(v) // v 可以是图中的一个顶点，也可以是抽象的概念，如 dp 状态等。
  在 v 上打访问标记
  for u in v 的相邻节点
	if u 没有打过访问标记 then
	  DFS(u)
	end
  end
end

以上代码只包含了 DFS 必需的主要结构。实际的 DFS 会在以上代码基础上加入一些代码，利用 DFS 性质进行其他操作。

性质

该算法通常的时间复杂度为 $O(n+m)$，空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 表示点数，$m$ 表示边数。注意空间复杂度包含了栈空间，栈空间的空间复杂度是 $O(n)$ 的。在平均 $O(1)$ 遍历一条边的条件下才能达到此时间复杂度，例如用前向星或邻接表存储图；如果用邻接矩阵则不一定能达到此复杂度。

备注：目前大部分算法竞赛（包括 NOIP、大部分省选以及 CCF 举办的各项赛事）都支持 无限栈空间，即：栈空间不单独限制，但总内存空间仍然受题面限制。但大部分操作系统会对栈空间做额外的限制，因此在本地调试时需要一些方式来取消栈空间限制。

• 在 Windows 上，通常的方法是在 编译选项 中加入 -Wl,--stack=1000000000，表示将栈空间限制设置为 1000000000 字节。
• 在 Linux 上，通常的方法是在运行程序前 在终端内 执行 ulimit -s unlimited，表示栈空间无限。每个终端只需执行一次，对之后每次程序运行都有效。

实现

栈实现

DFS 可以使用 栈（Stack） 为遍历中节点的暂存容器来实现；这与用 队列（Queue） 实现的 BFS 形成高度对应。

[list2tab]

• C++

  vector<vector<int>> adj;  // 邻接表
  vector<bool> vis;         // 记录节点是否已经遍历
   
  void dfs(int s) {
    stack<int> st;
    st.push(s);
    vis[s] = true;
   
    while (!st.empty()) {
      int u = st.top();
      st.pop();
   
      for (int v : adj[u]) {
        if (!vis[v]) {
          vis[v] = true;  // 确保栈里没有重复元素
          st.push(v);
        }
      }
    }
  }

• Python

  # adj : List[List[int]] 邻接表
  # vis : List[bool] 记录节点是否已经遍历
   
   
  def dfs(s: int) -> None:
      stack = [s]  # 用列表来模拟栈，把起点加入栈中
      vis[s] = True  # 起点被遍历
   
      while stack:  # 当栈非空时继续执行
          u = (
              stack.pop()
          )  # 拿取并丢弃掉最后一个元素（栈顶的元素），可以理解为走到u这个元素
   
          for v in adj[u]:  # 对于与u相邻的每个元素v
              if not vis[v]:  # 如果v在此前没有走过
                  vis[v] = True  # 确保栈里没有重复元素
                  stack.append(v)  # 把v加入栈中

递归实现

函数在递归调用时的求值如同对栈的添加和删除元素的顺序，故函数调用所占据的虚拟地址被称为函数调用栈（Call Stack），DFS 可用递归的方式实现。

以 邻接表（Adjacency List） 作为图的存储方式：

[list2tab]

• C++

  vector<vector<int>> adj;  // 邻接表
  vector<bool> vis;         // 记录节点是否已经遍历
   
  void dfs(const int u) {
    vis[u] = true;
    for (int v : adj[u])
      if (!vis[v]) dfs(v)
  }

• Python

  # adj : List[List[int]] 邻接表
  # vis : List[bool] 记录节点是否已经遍历
   
   
  def dfs(u: int) -> None:
      vis[u] = True
      for v in adj[u]:
          if not vis[v]:
              dfs(v)

以 链式前向星 为例（注意：head 和 nxt 数组需初始化为 -1，表示链表结束）：

[list2tab]

• C++

  void dfs(int u) {
    vis[u] = 1;
    for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].x) {  // ~i 等价于 i != -1
      int v = e[i].t;
      if (!vis[v]) {
        dfs(v);
      }
    }
  }

• Java

  public void dfs(int u) {
      vis[u] = true;
      for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].x) {
          int v = e[i].t;
          if (!vis[v]) {
              dfs(v);
          }
      }
  }

• Python

  def dfs(u):
      vis[u] = True
      i = head[u]
      while i != -1:
          v = e[i].t
          if not vis[v]:
              dfs(v)
          i = e[i].x

DFS 序列

DFS 序列是指 DFS 调用过程中访问的节点编号的序列。

我们发现，每个子树都对应 DFS 序列中的连续一段（一段区间）。

括号序列

DFS 进入某个节点的时候记录一个左括号 (，退出某个节点的时候记录一个右括号 )。

每个节点会出现两次。相邻两个节点的深度相差 1。

一般图上 DFS

对于非连通图，只能访问到起点所在的连通分量。

对于连通图，DFS 序列通常不唯一。

注：树的 DFS 序列也是不唯一的。

在 DFS 过程中，通过记录每个节点从哪个点访问而来，可以建立一个树结构，称为 DFS 树。DFS 树是原图的一个生成树。

DFS 树 有很多性质，比如可以用来求 强连通分量。