09.倍增

本页面将简要介绍倍增法。

定义

倍增法（英语：binary lifting），顾名思义就是「成倍增长」。我们在进行递推时，如果状态空间很大，通常的线性递推无法满足时间与空间复杂度的要求，那么我们可以通过成倍增长的方式，只递推状态空间中在 $k$ 的整数次幂位置上的值作为代表。当需要其他位置上的值时，我们通过「任意整数可以表示成若干个 $k$ 的次幂项的和」这一性质，使用之前求出的代表值拼成所需的值。所以使用倍增算法也要求我们递推的问题的状态空间关于 $k$ 的次幂具有可划分性。通常情况下 $k$ 取 $2$。¹

这个方法在很多算法中均有应用，其中最常用的是 RMQ 问题和求 LCA（最近公共祖先）。

应用

RMQ 问题

参见：RMQ 专题

RMQ 是 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。使用倍增思想解决 RMQ 问题的方法是 ST 表。

树上倍增求 LCA

参见：最近公共祖先

例题

题 1

例题

如何用尽可能少的砝码称量出 $[0,31]$ 之间的所有重量？（只能在天平的一端放砝码）

解题思路

答案是使用 1 2 4 8 16 这五个砝码，可以称量出 $[0,31]$ 之间的所有重量。同样，如果要称量 $[0,127]$ 之间的所有重量，可以使用 1 2 4 8 16 32 64 这七个砝码。每次我们都选择 2 的整次幂作砝码的重量，就可以使用极少的砝码个数量出任意我们所需要的重量。

为什么说是极少呢？因为如果我们要量出 $[0,1023]$ 之间的所有重量，只需要 10 个砝码，需要量出 $[0,1048575]$ 之间的所有重量，只需要 20 个。如果我们的目标重量翻倍，砝码个数只需要增加 1。这叫「对数级」的增长速度，因为砝码的所需个数与目标重量的范围的对数成正比。

题 2

例题

给出一个长度为 $n$ 的环和一个常数 $k$，每次会从第 $i$ 个点跳到第 $(i+k)\mathrm{mod}n+1$ 个点，总共跳了 $m$ 次。每个点都有一个权值，记为 $a_i$，求 $m$ 次跳跃的起点的权值之和对 $10^9+7$ 取模的结果。

数据范围：$1\le n\le 10^6$，$1\le m\le 10^{18}$，$1\le k\le n$，$0\le a_i\le 10^9$。

解题思路

这里显然不能暴力模拟跳 $m$ 次。因为 $m$ 最大可到 $10^{18}$ 级别，如果暴力模拟的话，时间承受不住。

所以就需要进行一些预处理，提前整合一些信息，以便于在查询的时候更快得出结果。如果记录下来每一个可能的跳跃次数的结果的话，不论是时间还是空间都难以承受。

那么应该如何预处理呢？看看第一道例题。有思路了吗？

回到本题。我们要预处理一些信息，然后用预处理的信息尽量快的整合出答案。同时预处理的信息也不能太多。所以可以预处理出以 2 的整次幂为单位的信息，这样的话在预处理的时候只需要处理少量信息，在整合的时候也不需要大费周章。

在这题上，就是我们预处理出从每个点开始跳 1、2、4、8 等等步之后的结果（所处点和点权和），然后如果要跳 13 步，只需要跳 1+4+8 步就好了。也就是说先在起始点跳 1 步，然后再在跳了之后的终点跳 4 步，再接着跳 8 步，同时统计一下预先处理好的点权和，就可以知道跳 13 步的点权和了。

对于每一个点开始的 $2^i$ 步，记录一个 go[i][x] 表示第 $x$ 个点跳 $2^i$ 步之后的终点，而 sum[i][x] 表示第 $x$ 个点跳 $2^i$ 步之后能获得的点权和。预处理的时候，开两重循环，对于跳 $2^i$ 步的信息，我们可以看作是先跳了 $2^{i-1}$ 步，再跳 $2^{i-1}$ 步，因为显然有 $2^{i-1}+2^{i-1}=2^i$。即我们有 sum[i][x] = sum[i-1][x]+sum[i-1][go[i-1][x]]，且 go[i][x] = go[i-1][go[i-1][x]]。

当然还有一些实现细节需要注意。为了保证统计的时候不重不漏，我们一般预处理出「左闭右开」的点权和。亦即，对于跳 1 步的情况，我们只记录该点的点权和；对于跳 2 步的情况，我们只记录该点及其下一个点的点权和。相当于总是不将终点的点权和计入 sum。这样在预处理的时候，只需要将两部分的点权和直接相加就可以了，不需要担心第一段的终点和第二段的起点会被重复计算。

这题的 $m\le 10^{18}$，虽然看似恐怖，但是实际上只需要预处理出 $65$ 以内的 $i$，就可以轻松解决，比起暴力枚举快了很多。用行话讲，这个做法的 时间复杂度 是预处理 $\Theta (n\log m)$，查询每次 $\Theta (\log m)$。

参考代码

#include <cstdio>
using namespace std;
 
constexpr int mod = 1000000007;
 
int modadd(int a, int b) {
  if (a + b >= mod) return a + b - mod;  // 减法代替取模，加快运算
  return a + b;
}
 
int vi[1000005];
 
int go[75][1000005];  // 将数组稍微开大以避免越界，小的一维尽量定义在前面
int sum[75][1000005];
 
int main() {
  int n, k;
  scanf("%d%d", &n, &k);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%d", vi + i);
  }
 
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    go[0][i] = (i + k) % n + 1;
    sum[0][i] = vi[i];
  }
 
  int logn = 31 - __builtin_clz(n);  // 一个快捷的取对数的方法
  for (int i = 1; i <= logn; ++i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
      go[i][j] = go[i - 1][go[i - 1][j]];
      sum[i][j] = modadd(sum[i - 1][j], sum[i - 1][go[i - 1][j]]);
    }
  }
 
  long long m;
  scanf("%lld", &m);
 
  int ans = 0;
  int curx = 1;
  for (int i = 0; m; ++i) {
    if (m & (1ll << i)) {  // 参见位运算的相关内容，意为 m 的第 i 位是否为 1
      ans = modadd(ans, sum[i][curx]);
      curx = go[i][curx];
      m ^= 1ll << i;  // 将第 i 位置零
    }
  }
 
  printf("%d\n", ans);
}