向量

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，并且与「标量」一词相对。在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。

在 OI Wiki，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用「向量」这个词汇。

定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\vec{a}$ 或 $\mathbf{a}$。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：$|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\mathbf{a}|$。

零向量：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为：$\vec{0}$ 或 $0$。

单位向量：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 $\vec{e}$ 或 $\mathbf{e}$。

平行向量：方向相同或相反的两个 非零 向量。记作：$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$，作 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，那么 $\theta =\angle AOB$ 就是向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{b}$ 的夹角。记作：$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$。显然当 $\theta =0$ 时两向量同向，$\theta =\pi$ 时两向量反向，$\theta =\frac{\pi }{2}$ 时两向量垂直，记作 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，并且规定 $\theta \in [0,\pi ]$。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的线性运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$，那么他经过的位移为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

整理一下向量的加法法则：

1. 向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
2. 向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即：$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})$。

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

有时候有两点 $A,B$，想知道 $\overrightarrow{AB}$，可以利用减法运算 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 获得。

向量的数乘

规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\mathbf{a}$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 $\lambda \mathbf{a}$，它的长度与方向规定如下：

1. $|\lambda \mathbf{a}|=|\lambda ||\mathbf{a}|$；
2. 当 $\lambda >0$ 时，$\lambda \mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}$ 同向，当 $\lambda =0$ 时，$\lambda \mathbf{a}=0$，当 $\lambda <0$ 时，$\lambda \mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}$ 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

$$\begin{array}{rl}\lambda (\mu \mathbf{a})& =(\lambda \mu )\mathbf{a}\\ (\lambda +\mu )\mathbf{a}& =\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}\\ \lambda (\mathbf{a}+\mathbf{b})& =\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}\end{array}$$

特别地：

$$\begin{array}{c}(-\lambda )\mathbf{a}=-(\lambda \mathbf{a})=-\lambda (\mathbf{a})\\ \lambda (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}-\lambda \mathbf{b}\end{array}$$

判定两向量共线

两个 非零 向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线 $⟺$ 有唯一实数 $\lambda$，使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$。

证明：由数乘的定义可知，对于 非零 向量 $\mathbf{a}$，如果存在实数 $\lambda$，使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$，那么 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$。

反过来，如果 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，$\mathbf{a}\ne 0$，且 $|\mathbf{b}|=\mu |\mathbf{a}|$，那么当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向时，$\mathbf{b}=\mu \mathbf{a}$，反向时 $\mathbf{b}=-\mu \mathbf{a}$。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$，使得与 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ 共面的任意向量 $\mathbf{p}$ 满足 $\mathbf{p}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$。

平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

在同一平面内的两个不共线的向量称为 基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。

平面向量的坐标表示

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 $i,j$ 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 $(x,y)$ 一一对应。

而有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，于是作 $\overrightarrow{OP}=\mathbf{p}$，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于研究的对象是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

平面向量的坐标运算

平面向量线性运算

由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 $\mathbf{a}=(m,n)$，$\mathbf{b}=(p,q)$，则：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}+\mathbf{b}& =(m+p,n+q)\\ \mathbf{a}-\mathbf{b}& =(m-p,n-q)\\ k\mathbf{a}& =(km,kn)\end{array}$$

求一个向量的坐标表示

已知两点 $A(a,b),B(c,d)$，易证 $\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)$。

平移一点

有时需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\overrightarrow{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

三点共线的判定

若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda )\overrightarrow{OC}$。

三点共线判定的拓展

在三角形 $ABC$ 中，若 $D$ 为 $BC$ 的 $n$ 等分点（$nBD=kDC$），则有：$\overrightarrow{AD}=\frac{n}{k+n}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+n}\overrightarrow{AC}$

在三维空间中的拓展（立体几何/空间向量）

在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：

空间向量基本定理

定理内容：如果三个向量 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 不共面，那么存在唯一实数对 $(x,y,z)$，使得空间中任意向量 $\mathbf{p}$ 满足 $\mathbf{p}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2+z{\mathbf{e}}_3$。 根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组 $(x,y,z)$ 作为坐标表示空间向量。

共面向量基本定理

如果存在两个不共线的向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}$, 则向量 $\mathbf{p}$ 与 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 共面的充要条件是存在唯一实数对 $(a,b)$ 使得 $\mathbf{p}=a\mathbf{x}+b\mathbf{y}$。

方向向量

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量 完全确定。

注意，平面中的直线也有方向向量。

对于 空间 中的直线，对其方向向量有以下求法：

• 若有 $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$，则 $AB$ 所在直线的一个方向向量为 $\mathbf{s}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。

• 若已知一个与所求直线 垂直 的平面，该平面一般方程为 $ax+by+cz+d=0$，那么垂直于该平面的直线的一个方向向量为 $\mathbf{s}=(a,b,c)$，该方向向量也是该平面的 一个法向量。

法向量

对于一个面 $ABCD$，其法向量 $\mathbf{n}$ 与这个面垂直。

计算方法：任取两个面内直线 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$，使得 $\overrightarrow{AB}\cdot \mathbf{n}=0$ 且 $\overrightarrow{AD}\cdot \mathbf{n}=0$，利用坐标法即可计算。

向量与矩阵

线性代数中，线性变换可以用矩阵表示。令 $T$ 表示一个将 ${\mathbf{R}}^n$ 映射到 ${\mathbf{R}}^m$ 的线性变换，$\mathbf{x}$ 表示一个 $n$ 维列向量，则存在一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，使得

$$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$$

矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 的变换矩阵。在算法问题中，一般情况下线性变换在相同维度下进行，因此 $A$ 是一个方阵。这样，对向量的线性变换问题可以转化为矩阵乘法问题。

接下来我们探讨三种竞赛中较为常见的变换与其对应的变换矩阵：放缩变换（变换矩阵用 $S$ 表示）、旋转变换（变换矩阵用 $R$ 表示）和平移变换（变换矩阵用 $T$ 表示）。

放缩变换

对于 $n$ 维列向量 $\mathbf{a}$，将其每一维放缩 $v_1,v_2,\dots ,v_n$ 倍。很容易发现放缩操作的变换矩阵 $R$ 是 $n\times n$ 的对角矩阵，即 $S=\mathrm{diag}\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$。

旋转变换

向量的旋转是相对复杂的操作，我们仅限于讨论二维和三维的情况。

向量绕点旋转

对于向量绕点旋转，一般指的是向量绕原点旋转。对于某一点绕另一点 $P$ 旋转，可以利用平移变换使得点 $P$ 位于原点，进行向量旋转后再将坐标系平移回原位置即可。设平移操作的变换矩阵为 $T$，绕原点旋转操作的变换矩阵为 $R$，则整个过程的变换矩阵为 $TR{T}^{-1}$。根据几何意义，$T^{-1}$ 一定存在。

对于二维空间，设 $\mathbf{a}=(x,y)$，倾角为 $\theta$，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$。则 $x=l\cos \theta ,y=l\sin \theta$。令其绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角，得到向量 $\mathbf{b}=(l\cos (\theta +\alpha ),l\sin (\theta +\alpha ))$。

由三角恒等变换得，

$$\mathbf{b}=(l(\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha ),l(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha ))$$

化简，

$$\mathbf{b}=(l\cos \theta \cos \alpha -l\sin \theta \sin \alpha ,l\sin \theta \cos \alpha +l\cos \theta \sin \alpha )$$

把上面的 $x,y$ 代回来得

$$\mathbf{b}=(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,y\cos \alpha +x\sin \alpha )$$

因此二维空间下，变换矩阵 $R$ 为

$$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right].$$

对于三维空间，向量旋转需要使用两个角度参量，即天顶角旋转角度与方向角旋转角度，可以利用 空间球坐标系 进行旋转操作。

向量绕直线旋转

对于三维向量，更常见的的是绕某直线旋转。同样为了方便，此直线是过原点的。如果直线不过原点，我们仍可以平移坐标系进行转化。

取直线的方向向量 $\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$，设三维向量绕其逆时针旋转 $\theta$ 角。则对应的变换矩阵 $R$ 为 ¹

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x^2\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta & u_x{u}_y\left(1-\cos \theta \right)-u_z\sin \theta & u_x{u}_z\left(1-\cos \theta \right)+u_y\sin \theta \\ u_x{u}_y\left(1-\cos \theta \right)+u_z\sin \theta & u_y^2\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta & u_y{u}_z\left(1-\cos \theta \right)-u_x\sin \theta \\ u_x{u}_z\left(1-\cos \theta \right)-u_y\sin \theta & u_y{u}_z\left(1-\cos \theta \right)+u_x\sin \theta & u_z^2\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \end{array}\right].$$

平移变换

平移变换并非线性变换，而是仿射变换。但 ${\mathbf{R}}^n$ 下的仿射变换仍可以用 ${\mathbf{R}}^{n+1}$ 下的线性变换表示。

考虑 $n$ 维向量 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$，现在要将其沿向量 $\mathbf{t}=(t_1,t_2,\dots ,t_n)$ 平移。我们对列向量 $\mathbf{a}$ 添加一维并置为 $1$，得到新列向量 ${\mathbf{a}}^{\prime }=(a_1,a_2,\dots ,a_n,1)$。则变换矩阵 $T$ 可以写作

$$T=\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & t_1\\ & 1& & & t_2\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& t_n\\ & & & & 1\end{array}\right].$$

对于其他线性变换矩阵，在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为 $1$ 外其它部分填充为 $0$，通过这种方法，所有的线性变换矩阵都可以转换为仿射变换矩阵。例如，对于二维向量旋转，变换矩阵可以变为

$$R^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$

向量的更严格定义

上文中，向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说，向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义，需要先定义 线性空间，具体内容参见 线性空间 页面的介绍。

Footnotes

1. 参见 Rotation matrix from axis and angle - Wikipedia ↩