数论基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

整除

定义

设 $a,b\in \mathbf{Z}$，$a\ne 0$。如果 $\exists q\in \mathbf{Z}$，使得 $b=aq$，那么就说 $b$ 可被 $a$ 整除，记作 $a\mid b$；$b$ 不被 $a$ 整除记作 $a\nmid b$。

整除的性质：

• $a\mid b⟺-a\mid b⟺a\mid -b⟺|a|\mid |b|$
• $a\mid b\wedge b\mid c⟹a\mid c$
• $a\mid b\wedge a\mid c⟺\forall x,y\in \mathbf{Z},a\mid (xb+yc)$
• $a\mid b\wedge b\mid a⟹b=\pm a$
• 设 $m\ne 0$，那么 $a\mid b⟺ma\mid mb$。
• 设 $b\ne 0$，那么 $a\mid b⟹|a|\le |b|$。
• 设 $a\ne 0,b=qa+c$，那么 $a\mid b⟺a\mid c$。

约数

定义

若 $a\mid b$，则称 $b$ 是 $a$ 的 倍数，$a$ 是 $b$ 的 约数。

$0$ 是所有非 $0$ 整数的倍数。对于整数 $b\ne 0$，$b$ 的约数只有有限个。

平凡约数（平凡因数）：对于整数 $b\ne 0$，$\pm 1$、$\pm b$ 是 $b$ 的平凡约数。当 $b=\pm 1$ 时，$b$ 只有两个平凡约数。

对于整数 $b\ne 0$，$b$ 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。

约数的性质：

• 设整数 $b\ne 0$。当 $d$ 遍历 $b$ 的全体约数的时候，$\frac{b}{d}$ 也遍历 $b$ 的全体约数。
• 设整数 $b>0$，则当 $d$ 遍历 $b$ 的全体正约数的时候，$\frac{b}{d}$ 也遍历 $b$ 的全体正约数。

在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。

带余数除法

余数

设 $a,b$ 为两个给定的整数，$a\ne 0$。设 $d$ 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 $q$ 和 $r$，满足 $b=qa+r,d\le r<|a|+d$。

无论整数 $d$ 取何值，$r$ 统称为余数。$a\mid b$ 等价于 $a\mid r$。

一般情况下，$d$ 取 $0$，此时等式 $b=qa+r,0\le r<|a|$ 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 $r$ 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

• 绝对最小余数：$d$ 取 $a$ 的绝对值的一半的相反数。即 $b=qa+r,-\frac{|a|}{2}\le r<|a|-\frac{|a|}{2}$。
• 最小正余数：$d$ 取 $1$。即 $b=qa+r,1\le r<|a|+1$。

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

• 任一整数被正整数 $a$ 除后，余数一定是且仅是 $0$ 到 $(a-1)$ 这 $a$ 个数中的一个。
• 相邻的 $a$ 个整数被正整数 $a$ 除后，恰好取到上述 $a$ 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 $a$ 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见 最大公约数。

Warning

一些作者认为 $0$ 和 $0$ 的最大公约数无定义，其余作者一般将其视为 $0$。C++ STL 的实现中采用后者，即认为 $0$ 和 $0$ 的最大公约数为 $0$¹。

最大公约数有如下性质：

• $(a_1,\dots ,a_n)=(|a_1|,\dots ,|a_n|)$；
• $(a,b)=(b,a)$；
• 若 $a\ne 0$，则 $(a,0)=(a,a)=|a|$；
• $(bq+r,b)=(r,b)$；
• $(a_1,\dots ,a_n)=((a_1,a_2),a_3,\dots ,a_n)$。进而 $\forall 1<k<n-1,(a_1,\dots ,a_n)=((a_1,\dots ,a_k),(a_{k+1},\dots ,a_n))$；
• 对不全为 $0$ 的整数 $a_1,\dots ,a_n$ 和非零整数 $m$，$(m{a}_1,\dots ,m{a}_n)=|m|(a_1,\dots ,a_n)$；
• 对不全为 $0$ 的整数 $a_1,\dots ,a_n$，若 $(a_1,\dots ,a_n)=d$，则 $(a_1/d,\dots ,a_n/d)=1$；
• $(a^n,b^n)=(a,b{)}^n$。

最大公约数还有如下与互素相关的性质：

• 若 $b|ac$ 且 $(a,b)=1$，则 $b\mid c$；
• 若 $b|c$、$a|c$ 且 $(a,b)=1$，则 $ab\mid c$；
• 若 $(a,b)=1$，则 $(a,bc)=(a,c)$；
• 若 $(a_i,b_j)=1,\forall 1\le i\le n,1\le j\le m$，则 $\left({\prod }_i{a}_i,{\prod }_j{b}_j\right)=1$。特别地，若 $(a,b)=1$，则 $(a^n,b^m)=1$；
• 对整数 $a_1,\dots ,a_n$，若 $\exists v\in \mathbf{Z},{\prod }_i{a}_i=v^m$，且 $(a_i,a_j)=1,\forall i\ne j$，则 $\forall 1\le i\le n,\sqrt[m]{a_i}\in \mathbf{Z}$。

最小公倍数有如下性质：

• $[a_1,\dots ,a_n]=[|a_1|,\dots ,|a_n|]$；
• $[a,b]=[b,a]$；
• 若 $a\ne 0$，则 $[a,1]=[a,a]=|a|$；
• 若 $a\mid b$，则 $[a,b]=|b|$；
• $[a_1,\dots ,a_n]=[[a_1,a_2],a_3,\dots ,a_n]$。进而 $\forall 1<k<n-1,[a_1,\dots ,a_n]=[[a_1,\dots ,a_k],[a_{k+1},\dots ,a_n]]$；
• 若 $a_i\mid m,\forall 1\le i\le n$，则 $[a_1,\dots ,a_n]\mid m$；
• $[m{a}_1,\dots ,m{a}_n]=|m|[a_1,\dots ,a_n]$；
• $[a,b,c][ab,bc,ca]=[a,b][b,c][c,a]$；
• $[a^n,b^n]=[a,b{]}^n$。

最大公约数和最小公倍数可以组合出很多奇妙的等式，如：

• $(a,b)[a,b]=|ab|$；
• $(ab,bc,ca)[a,b,c]=|abc|$；
• $\frac{(a,b,c{)}^2}{(a,b)(b,c)(a,c)}=\frac{[a,b,c{]}^2}{[a,b][b,c][a,c]}$。

这些性质均可通过定义或 唯一分解定理 证明，其中使用唯一分解定理的证明更容易理解。

互素

定义

若 $(a_1,a_2)=1$，则称 $a_1$ 和 $a_2$ 互素（既约）。

若 $(a_1,\dots ,a_k)=1$，则称 $a_1,\dots ,a_k$ 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 $6$、$10$ 和 $15$ 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout’s identity）。见 裴蜀定理。

辗转相除法

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见 最大公约数。

素数与合数

关于素数的算法见 素数。

定义

设整数 $p\ne 0,\pm 1$。如果 $p$ 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 $p$ 为 素数（不可约数）。

若整数 $a\ne 0,\pm 1$ 且 $a$ 不是素数，则称 $a$ 为 合数。

$p$ 和 $-p$ 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

• 大于 $1$ 的整数 $a$ 是合数，等价于 $a$ 可以表示为整数 $d$ 和 $e$（$1<d,e<a$）的乘积。
• 如果素数 $p$ 有大于 $1$ 的约数 $d$，那么 $d=p$。
• 大于 $1$ 的整数 $a$ 一定可以表示为素数的乘积。
• 对于合数 $a$，一定存在素数 $p\le \sqrt{a}$ 使得 $p\mid a$。
• 素数有无穷多个。
• 所有大于 $3$ 的素数都可以表示为 $6n\pm 1$ 的形式 ²。

算术基本定理

算术基本引理

设 $p$ 是素数，$p\mid a_1{a}_2$，那么 $p\mid a_1$ 和 $p\mid a_2$ 至少有一个成立。

算术基本引理的逆命题稍加修改也可以得到素数的另一种定义。

素数的另一种定义

对整数 $p\ne 0,\pm 1$，若对任意满足 $p\mid a_1{a}_2$ 的整数 $a_1,a_2$ 均有 $p\mid a_1$ 或 $p\mid a_2$ 成立，则称 $p$ 是素数。

Tip

这个定义的动机可以从 素理想 中找到。

算术基本定理（唯一分解定理）

设正整数 $a$，那么必有表示：

$$a=p_1{p}_2\cdots p_s$$

其中 $p_j(1\le j\le s)$ 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

$$a={p_1}^{{\alpha }_1}{p_2}^{{\alpha }_2}\cdots {p_s}^{{\alpha }_s},p_1<p_2<\cdots <p_s$$

称为正整数 $a$ 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

定义

设整数 $m\ne 0$。若 $m\mid (a-b)$，称 $m$ 为 模数（模），$a$ 同余于 $b$ 模 $m$，$b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的 剩余。记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

否则，$a$ 不同余于 $b$ 模 $m$，$b$ 不是 $a$ 对模 $m$ 的剩余。记作 $a\not\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

这样的等式，称为模 $m$ 的同余式，简称 同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 $a\equiv b(\mathrm{mod}(-m))$。

后文中，如果没有特别说明，模数总是 正整数。

式中的 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 $b$ 的范围，相应的有 $a$ 对模 $m$ 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

• 同余是 等价关系，即同余具有
  • 自反性：$a\equiv a(\mathrm{mod}m)$。
  • 对称性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $b\equiv a(\mathrm{mod}m)$。
  • 传递性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m),b\equiv c(\mathrm{mod}m)$，则 $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$。
• 线性运算：若 $a,b,c,d\in \mathbf{Z},m\in {\mathbf{N}}^{\ast },a\equiv b(\mathrm{mod}m),c\equiv d(\mathrm{mod}m)$ 则有：
  • $a\pm c\equiv b\pm d(\mathrm{mod}m)$。
  • $a\times c\equiv b\times d(\mathrm{mod}m)$。
• 设 $f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$ 和 $g(x)={\sum }_{i=0}^n{b}_i{x}^i$ 是两个整系数多项式，$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，且 $a_i\equiv b_i(\mathrm{mod}m),0\le i\le n$，则对任意整数 $x$ 均有 $f(x)\equiv g(x)(\mathrm{mod}m)$。进而若 $s\equiv t(\mathrm{mod}m)$，则 $f(s)\equiv g(t)(\mathrm{mod}m)$。
• 若 $a,b\in \mathbf{Z},k,m\in {\mathbf{N}}^{\ast },a\equiv b(\mathrm{mod}m)$, 则 $ak\equiv bk(\mathrm{mod}mk)$。
• 若 $a,b\in \mathbf{Z},d,m\in {\mathbf{N}}^{\ast },d\mid a,d\mid b,d\mid m$，则当 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 成立时，有 $\frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}\left(\mathrm{mod}\frac{m}{d}\right)$。
• 若 $a,b\in \mathbf{Z},d,m\in {\mathbf{N}}^{\ast },d\mid m$，则当 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 成立时，有 $a\equiv b(\mathrm{mod}d)$。
• 若 $a,b\in \mathbf{Z},d,m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则当 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 成立时，有 $(a,m)=(b,m)$。若 $d$ 能整除 $m$ 及 $a,b$ 中的一个，则 $d$ 必定能整除 $a,b$ 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。见 乘法逆元。

同余类与剩余系

为方便讨论，对集合 $A,B$ 和元素 $r$，我们引入如下记号：

• $r+A:=\{r+a:a\in A\}$；
• $rA:=\{ra:a\in A\}$；
• $A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}$；
• $AB:=\{ab:a\in A,b\in B\}$。

同余类

对非零整数 $m$，把全体整数分成 $|m|$ 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 $m$ 均同余，我们把这 $|m|$ 个集合均称为模 $m$ 的 同余类 或 剩余类。用 $r\mathrm{mod}m$ 表示含有整数 $r$ 的模 $m$ 的同余类。

不难证明对任意非零整数 $m$，上述划分方案一定存在且唯一。

由同余类的定义可知：

• $r\mathrm{mod}m=\{r+km:k\in \mathbf{Z}\}$；
• $r\mathrm{mod}m=s\mathrm{mod}m⟺r\equiv s(\mathrm{mod}m)$；
• 对任意 $r,s\in \mathbf{Z}$，要么 $r\mathrm{mod}m=s\mathrm{mod}m$，要么 $(r\mathrm{mod}m)\cap (s\mathrm{mod}m)=\varnothing$；
• 若 $m_1\mid m$，则对任意整数 $r$ 均有 $r+m\mathbf{Z}\subseteq r+m_1\mathbf{Z}$。

注意到同余是等价关系，所以同余类即为同余关系的等价类。

我们把模 $m$ 的同余类全体构成的集合记为 ${\mathbf{Z}}_m$，即

$${\mathbf{Z}}_m:=\{r\mathrm{mod}m:0\le r<m\}$$

不难发现：

• 对任意整数 $a$，$a+{\mathbf{Z}}_m={\mathbf{Z}}_m$；
• 对任意与 $m$ 互质的整数 $b$，$b{\mathbf{Z}}_m={\mathbf{Z}}_m$。

由 商群 的定义可知 ${\mathbf{Z}}_m=\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$，所以有时我们也会用 $\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$ 表示 ${\mathbf{Z}}_m$。

由 抽屉原理 可知：

• 任取 $m+1$ 个整数，必有两个整数模 $m$ 同余。
• 存在 $m$ 个两两模 $m$ 不同余的整数。

由此我们给出完全剩余系的定义：

（完全）剩余系

对 $m$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_m$，若对任意的数 $x$，有且仅有一个数 $a_i$ 使得 $x$ 与 $a_i$ 模 $m$ 同余，则称这 $m$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_m$ 为模 $m$ 的 完全剩余系，简称 剩余系。

我们还可以定义模 $m$ 的：

• 最小非负（完全）剩余系：$0,\dots ,m-1$；
• 最小正（完全）剩余系：$1,\dots ,m$；
• 绝对最小（完全）剩余系：$-\lfloor m/2\rfloor ,\dots ,-\lfloor -m/2\rfloor -1$；
• 最大非正（完全）剩余系：$-m+1,\dots ,0$；
• 最大负（完全）剩余系：$-m,\dots ,-1$。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负剩余系。

我们注意到如下命题成立：

• 在模 $m$ 的任意一个同余类中，任取两个整数 $a_1,a_2$ 均有 $(a_1,m)=(a_2,m)$。

考虑同余类 $r\mathrm{mod}m$，若 $(r,m)=1$，则该同余类的所有元素均与 $m$ 互质，这说明我们也许可以通过类似方式得知所有与 $m$ 互质的整数构成的集合的结构。

既约同余类

对同余类 $r\mathrm{mod}m$，若 $(r,m)=1$，则称该同余类为 既约同余类 或 既约剩余类。

我们把模 $m$ 既约剩余类的个数记作 $\phi (m)$，称其为 Euler 函数。

我们把模 $m$ 的既约同余类全体构成的集合记为 ${\mathbf{Z}}_m^{\ast }$，即

$${\mathbf{Z}}_m^{\ast }:=\{r\mathrm{mod}m:0\le r<m,(r,m)=1\}$$

Warning

对于任意的整数 $a$ 和与 $m$ 互质的整数 $b$，$b{\mathbf{Z}}_m^{\ast }={\mathbf{Z}}_m^{\ast }$，但是 $a+{\mathbf{Z}}_m^{\ast }$ 不一定为 ${\mathbf{Z}}_m^{\ast }$。这一点与 ${\mathbf{Z}}_m$ 不同。

由 抽屉原理 可知：

• 任取 $\phi (m)+1$ 个与 $m$ 互质的整数，必有两个整数模 $m$ 同余。
• 存在 $\phi (m)$ 个与 $m$ 互质且两两模 $m$ 不同余的整数。

由此我们给出既约剩余系的定义：

既约剩余系

对 $t=\phi (m)$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_t$，若 $(a_i,m)=1,\forall 1\le i\le t$，且对任意满足 $(x,m)=1$ 的数 $x$，有且仅有一个数 $a_i$ 使得 $x$ 与 $a_i$ 模 $m$ 同余，则称这 $t$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_t$ 为模 $m$ 的 既约剩余系、缩剩余系 或 简化剩余系。

类似地，我们也可以定义最小非负既约剩余系等概念。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负既约剩余系。

剩余系的复合

对正整数 $m$，我们有如下定理：

• 若 $m=m_1{m}_2,1\le m_1,m_2$，令 $Z_{m_1},Z_{m_2}$ 分别为模 $m_1,m_2$ 的 完全 剩余系，则对任意与 $m_1$ 互质的 $a$ 均有：

  $$Z_m=a{Z}_{m_1}+m_1{Z}_{m_2}.$$

  为模 $m$ 的 完全 剩余系。进而，若 $m={\prod }_{i=1}^k{m}_i,1\le m_1,m_2,\dots ,m_k$，令 $Z_{m_1},\dots ,Z_{m_k}$ 分别为模 $m_1,\dots ,m_k$ 的 完全 剩余系，则：

  $$Z_m=\sum _{i=1}^k\left(\prod _{j=1}^{i-1}{m}_j\right)Z_{m_i}.$$

  为模 $m$ 的 完全 剩余系。

证明

只需证明对任意满足 $ax+m_{1}y\equiv a{x}^{\prime }+m_1{y}^{\prime }(\mathrm{mod}{m}_1{m}_2)$ 的 $x,x^{\prime }\in Z_{m_1}$，$y,y^{\prime }\in Z_{m_2}$，都有：

$$ax+m_{1}y=a{x}^{\prime }+m_1{y}^{\prime }.$$

实际上，由 $m_1\mid m_1{m}_2$，我们有 $ax+m_{1}y\equiv a{x}^{\prime }+m_1{y}^{\prime }(\mathrm{mod}{m}_1)$，进而 $ax\equiv a{x}^{\prime }(\mathrm{mod}{m}_1)$，由 $(a,m_1)=1$ 可知 $x\equiv x^{\prime }(\mathrm{mod}{m}_1)$，进而有 $x=x^{\prime }$。

进一步，$m_{1}y\equiv m_1{y}^{\prime }(\mathrm{mod}{m}_1{m}_2)$，则 $y\equiv y^{\prime }(\mathrm{mod}{m}_2)$，即 $y=y^{\prime }$。

因此，

$$ax+m_{1}y=a{x}^{\prime }+m_1{y}^{\prime }.$$

• 若 $m=m_1{m}_2,1\le m_1,m_2,(m_1,m_2)=1$，令 $Z_{m_1}^{\ast },Z_{m_2}^{\ast }$ 分别为模 $m_1,m_2$ 的 既约 剩余系，则：

  $$Z_m^{\ast }=m_2{Z}_{m_1}^{\ast }+m_1{Z}_{m_2}^{\ast }.$$

  为模 $m$ 的 既约 剩余系。

Tip

该定理等价于证明 Euler 函数为 积性函数。

证明

令 $Z_{m_1},Z_{m_2}$ 分别为模 $m_1,m_2$ 的完全剩余系，我们已经证明了

$$Z_m=m_2{Z}_{m_1}+m_1{Z}_{m_2}$$

为模 $m$ 的完全剩余系。令 $M=\{a\in Z_m:(a,m)=1\}\subseteq Z_m$，显然 $M$ 为模 $m$ 的既约剩余系，所以我们只需证明 $M=Z_m^{\ast }$ 即可。

显然 $Z_m^{\ast }\subseteq Z_m$。

任取 $m_{2}x+m_{1}y\in M$，其中 $x\in Z_{m_1}$ 且 $y\in Z_{m_2}$，有 $(m_{2}x+m_{1}y,m_1{m}_2)=1$，由 $(m_1,m_2)=1$ 可得

$$1=(m_{2}x+m_{1}y,m_1)=(m_{2}x,m_1)=(x,m_1),$$ $$1=(m_{2}x+m_{1}y,m_2)=(m_{1}y,m_2)=(y,m_2).$$

因此可得 $x\in Z_{m_1}^{\ast }$ 且 $y\in Z_{m_2}^{\ast }$，即 $M\subseteq Z_m^{\ast }$。

任取 $m_{2}x+m_{1}y\in Z_m^{\ast }$，其中 $x\in Z_{m_1}^{\ast }$ 且 $y\in Z_{m_2}^{\ast }$，有 $(x,m_1)=1$ 且 $(y,m_2)=1$，由 $(m_1,m_2)=1$ 可得

$$(m_{2}x+m_{1}y,m_1)=(m_{2}x,m_1)=(x,m_1)=1,$$ $$(m_{2}x+m_{1}y,m_2)=(m_{1}y,m_2)=(x,m_2)=1,$$

因此可得 $(m_{2}x+m_{1}y,m_1{m}_2)=1$，即 $Z_m^{\ast }\subseteq M$。

综上所述，

$$Z_m^{\ast }=m_2{Z}_{m_1}^{\ast }+m_1{Z}_{m_2}^{\ast }.$$

为模 $m$ 的 既约 剩余系。

数论函数

数论函数（也称算术函数）指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$，且 $f(xy)=f(x)f(y)$ 对任意互质的 $x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立，则 $f(n)$ 为 积性函数。

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$ 对任意的 $x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立，则 $f(n)$ 为 完全积性函数。

性质

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

$$\begin{array}{rl}h(x)& =f(x^p)\\ h(x)& =f^p(x)\\ h(x)& =f(x)g(x)\\ h(x)& =\sum _{d\mid x}f(d)g\left(\frac{x}{d}\right)\end{array}$$

对正整数 $x$，设其唯一质因数分解为 $x=\prod p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 为质数。

若 $F(x)$ 为积性函数，则有 $F(x)=\prod F(p_i^{k_i})$。

若 $F(x)$ 为完全积性函数，则有 $F(x)=\prod F(p_i^{k_i})=\prod F(p_i{)}^{k_i}$。

例子

• 单位函数：$\epsilon (n)=[n=1]$。（完全积性）
• 恒等函数：${\mathrm{id}}_k(n)=n^k$，${\mathrm{id}}_1(n)$ 通常简记作 $\mathrm{id}(n)$。（完全积性）
• 常数函数：$1(n)=1$。（完全积性）
• 除数函数：${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n}{d}^k$。${\sigma }_0(n)$ 通常简记作 $d(n)$ 或 $\tau (n)$，${\sigma }_1(n)$ 通常简记作 $\sigma (n)$。
• 欧拉函数：$\phi (n)={\sum }_{i=1}^n[(i,n)=1]$。
• 莫比乌斯函数：$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \exists d>1,d^2\mid n\\ (-1{)}^{\omega (n)}& \text{otherwise}\end{array}$，其中 $\omega (n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数。

加性函数

定义

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=0$ 且 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 对任意互质的 $x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立，则 $f(n)$ 为 加性函数。

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=0$ 且 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 对任意的 $x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立，则 $f(n)$ 为 完全加性函数。

加性函数

本节中的加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)，应与代数中的 Additive map 做区分。

性质

对正整数 $x$，设其唯一质因数分解为 $x=\prod p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 为质数。

若 $F(x)$ 为加性函数，则有 $F(x)=\sum F(p_i^{k_i})$。

若 $F(x)$ 为完全加性函数，则有 $F(x)=\sum F(p_i^{k_i})=\sum F(p_i)\cdot k_i$。

例子

为方便叙述，令所有质数组成的集合为 $\mathbf{P}$.

• 素因数分解中 $p$ 的重数：${\nu }_p(n)=\max \{k\in \mathbf{N}:p^k\mid n\}$，其中，$p\in \mathbf{P}$。（完全加性）
• 所有质因子数目：$\Omega (n)={\sum }_{p\in \mathbf{P}}{\nu }_p(n)$。（完全加性）
• 相异质因子数目：$\omega (n)={\sum }_{p\in \mathbf{P}}[p\mid n]$。
• 所有质因子之和：$a_0(n)={\sum }_{p\in \mathbf{P}}{\nu }_p(n)\cdot p$。（完全加性）
• 相异质因子之和：$a_1(n)={\sum }_{p\in \mathbf{P}}[p\mid n]\cdot p$。

取整函数

对于实数 $x$，定义 下取整函数（floor function）和 上取整函数（ceiling function）分别为

$$\lfloor x\rfloor =\max \{k\in \mathbf{Z}:k\le x\},\lceil x\rceil =\min \{k\in \mathbf{Z}:k\ge x\}.$$

利用下取整函数，一个实数可以分解为整数部分和小数部分：$x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$。其中，$\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分。

取整函数有如下基本性质：（$x\in \mathbf{R},n\in \mathbf{Z}$）

• $x\in \mathbf{Z}⟺x=\lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil$。
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =[x\notin \mathbf{Z}]$。
• $x-1<\lfloor x\rfloor \le x\le \lceil x\rceil <x+1$。
• $\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor$。
• $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$。
• $\lfloor x\rfloor$ 和 $\lceil x\rceil$ 都是关于 $x$ 的单调弱增函数。

证明关于下（上）取整函数的等式经常用到如下等价形式：（$x\in \mathbf{R},n\in \mathbf{Z}$）

• $\lfloor x\rfloor =n⟺n\le x<n+1⟺x-1<n\le x$。
• $\lceil x\rceil =n⟺n-1<x\le n⟺x\le n<x+1$。

证明关于下（上）取整函数的不等式经常用到如下等价形式：（$x\in \mathbf{R},n\in \mathbf{Z}$）

• $x<n⟺\lfloor x\rfloor <n$。
• $n<x⟺n<\lceil x\rceil$。
• $x\le n⟺\lceil x\rceil \le n$。
• $n\le x⟺n\le \lfloor x\rfloor$。

涉及和、差的性质如下：（$x,y\in \mathbf{R}$）

• $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1$，且恰有一个等号成立。
• $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\le \lceil x+y\rceil \le \lceil x\rceil +\lceil y\rceil$，且恰有一个等号成立。
• $\lfloor |x-y|\rfloor \le |\lfloor x\rfloor -\lfloor y\rfloor |\le \lceil |x-y|\rceil$。
• $\lfloor |x-y|\rfloor \le |\lceil x\rceil -\lceil y\rceil |\le \lceil |x-y|\rceil$。

涉及商的性质如下：（$x\in \mathbf{R},n\in \mathbf{Z},m\in {\mathbf{Z}}_{+}$）

• $\lceil \frac{n}{m}\rceil =\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor ,\lfloor \frac{n}{m}\rfloor =\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil$。
• $\lfloor \frac{x+n}{m}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +n}{m}\rfloor ,\lceil \frac{x+n}{m}\rceil =\lceil \frac{\lceil x\rceil +n}{m}\rceil$。
• $\lfloor \frac{\lfloor x/n\rfloor }{m}\rfloor =\lfloor \frac{x}{nm}\rfloor ,\lceil \frac{\lceil x/n\rceil }{m}\rceil =\lceil \frac{x}{nm}\rceil$。
• 对于 $x>0$，有 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor =\sum _{k=1}^{\lfloor x\rfloor }[m\mid k]$。

其中，第二条和第三条性质都可以看作是如下结论的直接推论：

• 设 $f$ 为连续单增函数，且只要 $f(x)\in \mathbf{Z}$，就有 $x\in \mathbf{Z}$，那么

  $$\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil .$$

证明

由对称性，只需要证明第一个等式。如果 $x$ 是整数，那么命题显然。否则，$\lfloor x\rfloor <x$。由 $f$ 和下取整函数的单调性可知，$\lfloor f(x)\rfloor \ge \lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor$。如果等号不成立，那么设 $y=\lfloor f(x)\rfloor$，它满足 $\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor <y\le \lfloor f(x)\rfloor$，这等价于 $f(\lfloor x\rfloor )<y\le f(x)$。由 $f$ 的连续性可知，存在 $\lfloor x\rfloor <x_0\le x$ 使得 $f(x_0)=y$。因为 $y\in \mathbf{Z}$，所以 $x_0\in \mathbf{Z}$，这与 $\lfloor x\rfloor$ 的定义矛盾。故而，等号成立，即 $\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor$。

最后是一组关于带有取整函数的求和式的结论：（$x\in \mathbf{R},n\in \mathbf{Z},m\in {\mathbf{Z}}_{+}$）

• $n=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lceil \frac{n}{2}\rceil$。
• $n=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+1}{m}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor$。
• $n=\lceil \frac{n}{m}\rceil +\lceil \frac{n-1}{m}\rceil +\cdots +\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil$。
• $\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{m}\rfloor +\cdots +\lfloor x+\frac{m-1}{m}\rfloor$。
• $\lceil mx\rceil =\lceil x\rceil +\lceil x-\frac{1}{m}\rceil +\cdots +\lceil x-\frac{m-1}{m}\rceil$。
• 当 $m\perp n$ 时，$\sum _{k=1}^{m-1}\lfloor \frac{kn}{m}\rfloor =\frac{1}{2}(n-1)(m-1)$。
• 当 $m\perp n$ 时，$\sum _{k=1}^{m-1}\lceil \frac{kn}{m}\rceil =\frac{1}{2}(n+1)(m-1)$。

这些乃至更一般的类似形式求和式的推导可以参考 类欧几里得算法 页面。

取整函数的更多性质以及应用可以参考如下页面：

• 取模运算：$n\mathrm{mod}m=n-\lfloor \frac{n}{m}\rfloor m$。它可以用于 优化整数取模运算。
• 利用 Gauss 引理证明 二次互反律。
• 数论分块，尤其是它的性质证明部分。
• 计算阶乘中素数因子幂次的 Legendre 公式。
• Beatty 数列、Rayleigh 定理以及 Wythoff 博弈。

参考资料与注释

• 潘承洞，潘承彪。初等数论。北京大学出版社。
• Floor and ceiling functions - Wikipedia
• Graham, Ronald L., Donald E. Knuth, and Oren Patashnik. “Concrete mathematics: a foundation for computer science.” (1989).

Footnotes

1. std::gcd - cppreference.com ↩

2. Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1? ↩