数值积分

定积分的定义

简单来说，函数 $f(x)$ 在区间 $[l,r]$ 上的定积分 ${\int }_l^{r}f(x)\mathrm{d}x$ 指的是 $f(x)$ 在区间 $[l,r]$ 中与 $x$ 轴围成的区域的面积（其中 $x$ 轴上方的部分为正值，$x$ 轴下方的部分为负值）。

很多情况下，我们需要高效，准确地求出一个积分的近似值。下面介绍的 辛普森法，就是这样一种求数值积分的方法。

辛普森法

这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。

二次函数积分公式（辛普森公式）

对于一个二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，有：

$${\int }_l^{r}f(x)\mathrm{d}x=\frac{(r-l)(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2}))}{6}$$

推导过程： 对于一个二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$； 求积分可得 $F(x)={\int }_0^{x}f(x)\mathrm{d}x=\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2+cx+D$ 在这里 D 是一个常数，那么

$$\begin{array}{rl}{\int }_l^{r}f(x)\mathrm{d}x& =F(r)-F(l)\\ & =\frac{a}{3}(r^3-l^3)+\frac{b}{2}(r^2-l^2)+c(r-l)\\ & =(r-l)(\frac{a}{3}(l^2+r^2+lr)+\frac{b}{2}(l+r)+c)\\ & =\frac{r-l}{6}(2a{l}^2+2a{r}^2+2alr+3bl+3br+6c)\\ & =\frac{r-l}{6}((a{l}^2+bl+c)+(a{r}^2+br+c)+4(a(\frac{l+r}{2}{)}^2+b(\frac{l+r}{2})+c))\\ & =\frac{r-l}{6}(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2}))\end{array}$$

根据这个辛普森公式，我们先介绍一种普通的辛普森积分法。

普通辛普森法

1743 年，这种方法发表于托马斯·辛普森的一篇论文中。

描述

给定一个自然数 $n$，将区间 $[l,r]$ 分成 $2n$ 个等长的区间 $x$。

$x_i=l+ih,i=0\dots 2n,$ $h=\frac{r-l}{2n}.$

我们就可以计算每个小区间 $[x_{2i-2},x_{2i}]$，$i=1\dots n$ 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分。

对于 $[x_{2i-2},x_{2i}]$，$i=1\dots n$ 的一个区间，选其中的三个点 $(x_{2i-2},x_{2i-1},x_{2i})$ 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 $P(x)$，这个函数存在且唯一。计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 $P(x)$ 在该段区间的积分值。这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它。

${\int }_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx {\int }_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}P(x)dx=\left(f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+(f(x_{2i})\right)\frac{h}{3}$

将其分段求和即可得到如下结论：

${\int }_l^{r}f(x)dx\approx \left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\dots +4f(x_{2N-1})+f(x_{2N})\right)\frac{h}{3}$

误差

我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：

$$-\frac{1}{90}{\left(\frac{r-l}{2}\right)}^5{f}^{(4)}(\xi )$$

其中 $\xi$ 是位于区间 $[l,r]$ 的某个值。

实现

[list2tab]

• C++

  constexpr int N = 1000 * 1000;
   
  double simpson_integration(double a, double b) {
    double h = (b - a) / N;
    double s = f(a) + f(b);
    for (int i = 1; i <= N - 1; ++i) {
      double x = a + h * i;
      s += f(x) * ((i & 1) ? 4 : 2);
    }
    s *= h / 3;
    return s;
  }

• Python

  N = 1000 * 1000
   
   
  def simpson_integration(a, b):
      h = (b - a) / N
      s = f(a) + f(b)
      for i in range(1, N):
          x = a + h * i
          if i & 1:
              s = s + f(x) * 4
          else:
              s = s + f(x) * 2
      s = s * (h / 3)
      return s

自适应辛普森法

普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 $n$ 的限制，我们应该找一种更加合适的方法。

现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。

我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了。

于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解。

现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？

我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了。

上面就是自适应辛普森法的思想。在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数。

参考代码如下：

[list2tab]

• C++

  double simpson(double l, double r) {
    double mid = (l + r) / 2;
    return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;  // 辛普森公式
  }
   
  double asr(double l, double r, double eps, double ans, int step) {
    double mid = (l + r) / 2;
    double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
    if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps && step < 0)
      return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;  // 足够相似的话就直接返回
    return asr(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) +
           asr(mid, r, eps / 2, fr, step - 1);  // 否则分割成两段递归求解
  }
   
  double calc(double l, double r, double eps) {
    return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12);
  }

• Python

  def simpson(l, r):
      mid = (l + r) / 2
      return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6  # 辛普森公式
   
   
  def asr(l, r, eps, ans, step):
      mid = (l + r) / 2
      fl = simpson(l, mid)
      fr = simpson(mid, r)
      if abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps and step < 0:
          return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15  # 足够相似的话就直接返回
      return asr(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) + asr(
          mid, r, eps / 2, fr, step - 1
      )  # 否则分割成两段递归求解
   
   
  def calc(l, r, eps):
      return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12)

习题

• Luogu4525【模板】自适应辛普森法 1
• HDU1724 Ellipse
• NOI2005 月下柠檬树

参考资料

https://doi.org/10.1145/321526.321537：该文章讨论了自适应 Simpson 法的改进方案，其中详细论述了上文代码中的常数 15 的由来与优势。