13.树上随机游走

给定一棵有根树，树的某个结点上有一个硬币，在某一时刻硬币会等概率地移动到邻接结点上，问硬币移动到邻接结点上的期望距离。

需要用到的定义

• $T=(V,E)$: 所讨论的树
• $d(u)$: 结点 $u$ 的度数
• $w(u,v)$: 结点 $u$ 与结点 $v$ 之间的边的边权
• $p_u$: 结点 $u$ 的父结点
• $\text{root}$: 树的根结点
• ${\text{son}}_u$: 结点 $u$ 的子结点集合
• ${\text{sibling}}_u$: 结点 $u$ 的兄弟结点集合

向父结点走的期望距离

设 $f(u)$ 代表 $u$ 结点走到其父结点 $p_u$ 的期望距离，则有：

$$f(u)=\frac{w(u,p_u)+\sum _{v\in {\text{son}}_u}(w(u,v)+f(v)+f(u))}{d(u)}$$

分子中的前半部分代表直接走向了父结点，后半部分代表先走向了子结点再由子结点走回来然后再向父结点走；分母 $d(u)$ 代表从 $u$ 结点走向其任何邻接点的概率相同。

化简如下：

$$\begin{array}{rl}f(u)& =\frac{w(u,p_u)+\sum _{v\in {\text{son}}_u}(w(u,v)+f(v)+f(u))}{d(u)}\\ & =\frac{w(u,p_u)+\sum _{v\in {\text{son}}_u}(w(u,v)+f(v))+(d(u)-1)f(u)}{d(u)}\\ & =w(u,p_u)+\sum _{v\in {\text{son}}_u}(w(u,v)+f(v))\\ & =\sum _{(u,t)\in E}w(u,t)+\sum _{v\in {\text{son}}_u}f(v)\end{array}$$

对于叶子结点 $l$，初始状态为 $f(l)=w(p_l,l)$。

当树上所有边的边权都为 $1$ 时，上式可化为：

$$f(u)=d(u)+\sum _{v\in {\text{son}}_u}f(v)$$

即 $u$ 子树的所有结点的度数和，也即 $u$ 子树大小的两倍 $-1$（每个结点连向其父亲的边都有且只有一条，除 $u$ 与 $p_u$ 之间的边只有 $1$ 点度数的贡献外，每条边会产生 $2$ 点度数的贡献）。

向子结点走的期望距离

设 $g(u)$ 代表 $p_u$ 结点走到其子结点 $u$ 的期望距离，则有：

$$g(u)=\frac{w(p_u,u)+\left(w(p_u,p_{p_u})+g(p_u)+g(u)\right)+\sum _{s\in {\text{sibling}}_u}(w(p_u,s)+f(s)+g(u))}{d(p_u)}$$

分子中的第一部分代表直接走向了子结点 $u$，第二部分代表先走向了父结点再由父结点走回来然后再向 $u$ 结点走，第三部分代表先走向 $u$ 结点的兄弟结点再由其走回来然后再向 $u$ 结点走；分母 $d(p_u)$ 代表从 $p_u$ 结点走向其任何邻接点的概率相同。

化简如下：

$$\begin{array}{rl}g(u)& =\frac{w(p_u,u)+\left(w(p_u,p_{p_u})+g(p_u)+g(u)\right)+\sum _{s\in {\text{sibling}}_u}(w(p_u,s)+f(s)+g(u))}{d(p_u)}\\ & =\frac{w(p_u,u)+w(p_u,p_{p_u})+g(p_u)+\sum _{s\in {\text{sibling}}_u}\left(w(p_u,s)+f(s)\right)+(d(p_u)-1)g(u)}{d(p_u)}\\ & =w(p_u,u)+w(p_u,p_{p_u})+g(p_u)+\sum _{s\in {\text{sibling}}_u}(w(p_u,s)+f(s))\\ & =\sum _{(p_u,t)\in E}w(p_u,t)+g(p_u)+\sum _{s\in {\text{sibling}}_u}f(s)\\ & =\sum _{(p_u,t)\in E}w(p_u,t)+g(p_u)+\left(f(p_u)-\sum _{(p_u,t)\in E}w(p_u,t)-f(u)\right)\\ & =g(p_u)+f(p_u)-f(u)\end{array}$$

初始状态为 $g(\text{root})=0$。

代码实现（以无权树为例）

vector<int> G[MAXN];
 
void dfs1(int u, int p) {
  f[u] = G[u].size();
  for (auto v : G[u]) {
    if (v == p) continue;
    dfs1(v, u);
    f[u] += f[v];
  }
}
 
void dfs2(int u, int p) {
  if (u != root) g[u] = g[p] + f[p] - f[u];
  for (auto v : G[u]) {
    if (v == p) continue;
    dfs2(v, u);
  }
}