12.树哈希

判断一些树是否同构的时，我们常常把这些树转成哈希值储存起来，以降低复杂度。

树哈希是很灵活的，可以设计出各种各样的哈希方式；但是如果随意设计，很有可能是错误的，可能被卡。以下介绍一类容易实现且不易被卡的方法。

方法

这类方法需要一个多重集的哈希函数。以某个结点为根的子树的哈希值，就是以它的所有儿子为根的子树的哈希值构成的多重集的哈希值，即：

$$h_x=f(\{h_i\mid i\in son(x)\})$$

其中 $h_x$ 表示以 $x$ 为根的子树的哈希值，$f$ 是多重集的哈希函数。

以代码中使用的哈希函数为例：

$$f(S)=\left(c+\sum _{x\in S}g(x)\right)\mathrm{mod}m$$

其中 $c$ 为常数，一般使用 $1$ 即可。$m$ 为模数，一般使用 $2^{32}$ 或 $2^{64}$ 进行自然溢出，也可使用大素数。$g$ 为整数到整数的映射，代码中使用 xor shift，也可以选用其他的函数，但是不建议使用多项式。为了预防出题人对着 xor hash 卡，还可以在映射前后异或一个随机常数。

这种哈希十分好写。如果需要换根，第二次 DP 时只需把子树哈希减掉即可。

例题

UOJ #763. 树哈希

这是一道模板题。不用多说，以 $1$ 为根跑一遍 DFS 就好了。

参考代码

#include <cctype>
#include <iostream>
#include <random>
#include <set>
#include <vector>
 
using ull = unsigned long long;
 
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
 
ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}
 
constexpr int N = 1e6 + 10;
 
int n;
ull hash[N];
std::vector<int> edge[N];
std::set<ull> trees;
 
void getHash(int x, int p) {
  hash[x] = 1;
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == p) {
      continue;
    }
    getHash(i, x);
    hash[x] += shift(hash[i]);
  }
  trees.insert(hash[x]);
}
 
using std::cin;
using std::cout;
 
int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    edge[u].push_back(v);
    edge[v].push_back(u);
  }
  getHash(1, 0);
  cout << trees.size();
}

[BJOI2015] 树的同构

这道题所说的同构是指无根树的，而上面所介绍的方法是针对有根树的。因此只有当根一样时，同构的两棵无根树哈希值才相同。由于数据范围较小，我们可以暴力求出以每个点为根时的哈希值，排序后比较。

如果数据范围较大，我们也可以使用换根 DP，遍历树两遍，求出以每个点为根时的哈希值。我们还可以利用上面的多重集哈希函数：把以每个结点为根时的哈希值都存进多重集，再把多重集的哈希值算出来，进行比较（做法一）。

还可以通过找重心的方式来优化复杂度。一棵树的重心最多只有两个，只需把以它（们）为根时的哈希值求出来即可。接下来，既可以分别比较这些哈希值（做法二），也可以在有一个重心时取它的哈希值作为整棵树的哈希值，有两个时则取其中较小（大）的。

做法一

#include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <vector>
 
using ull = unsigned long long;
 
constexpr int N = 60, M = 998244353;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
 
ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}
 
std::vector<int> edge[N];
ull sub[N], root[N];
std::map<ull, int> trees;
 
void getSub(int x) {
  sub[x] = 1;
  for (int i : edge[x]) {
    getSub(i);
    sub[x] += shift(sub[i]);
  }
}
 
void getRoot(int x) {
  for (int i : edge[x]) {
    root[i] = sub[i] + shift(root[x] - shift(sub[i]));
    getRoot(i);
  }
}
 
using std::cin;
using std::cout;
 
int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int m;
  cin >> m;
  for (int t = 1; t <= m; t++) {
    int n, rt = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int fa;
      cin >> fa;
      if (fa) {
        edge[fa].push_back(i);
      } else {
        rt = i;
      }
    }
    getSub(rt);
    root[rt] = sub[rt];
    getRoot(rt);
    ull hash = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      hash += shift(root[i]);
    }
    if (!trees.count(hash)) {
      trees[hash] = t;
    }
    cout << trees[hash] << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      edge[i].clear();
    }
  }
}

做法二

#include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <vector>
 
using ull = unsigned long long;
using Hash2 = std::pair<ull, ull>;
 
constexpr int N = 60, M = 998244353;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
 
ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}
 
int n;
int size[N], weight[N], centroid[2];
std::vector<int> edge[N];
std::map<Hash2, int> trees;
 
void getCentroid(int x, int fa) {
  size[x] = 1;
  weight[x] = 0;
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    getCentroid(i, x);
    size[x] += size[i];
    weight[x] = std::max(weight[x], size[i]);
  }
  weight[x] = std::max(weight[x], n - size[x]);
  if (weight[x] <= n / 2) {
    int index = centroid[0] != 0;
    centroid[index] = x;
  }
}
 
ull getHash(int x, int fa) {
  ull hash = 1;
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    hash += shift(getHash(i, x));
  }
  return hash;
}
 
using std::cin;
using std::cout;
 
int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int m;
  cin >> m;
  for (int t = 1; t <= m; t++) {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int fa;
      cin >> fa;
      if (fa) {
        edge[fa].push_back(i);
        edge[i].push_back(fa);
      }
    }
    getCentroid(1, 0);
    Hash2 hash;
    hash.first = getHash(centroid[0], 0);
    if (centroid[1]) {
      hash.second = getHash(centroid[1], 0);
      if (hash.first > hash.second) {
        std::swap(hash.first, hash.second);
      }
    } else {
      hash.second = hash.first;
    }
    if (!trees.count(hash)) {
      trees[hash] = t;
    }
    cout << trees[hash] << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      edge[i].clear();
    }
    centroid[0] = centroid[1] = 0;
  }
}

HDU 6647 Bracket Sequences on Tree

题目要求遍历一棵无根树产生的本质不同括号序列方案数。

首先可以注意到，两棵不同构的有根树一定不会生成相同的括号序列。我们先考虑遍历有根树能够产生的本质不同括号序列方案数，假设我们当前考虑的子树根节点为 $u$，记 $f(u)$ 表示这棵子树的方案数，从 $u$ 开始往下遍历，顺序可以随意选择，产生 $|son(u)|!$ 种排列，遍历每个儿子节点 $v$，$v$ 的子树内有 $f(v)$ 种方案，因此有 $f(u)=|son(u)|!\cdot {\prod }_{v\in son(u)}f(v)$。但是，同构的子树之间会产生重复，$f(u)$ 需要除掉每种本质不同子树出现次数阶乘的乘积，类似于多重集合的排列。

通过上述 DP，可以求出根节点的方案数。再通过换根 DP，将父亲节点的哈希值和方案信息转移给儿子，可以求出以每个节点为根时的哈希值和方案数。每种不同的子树只需要计数一次即可。

参考代码

#include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <vector>
 
using ull = unsigned long long;
 
constexpr int N = 1e5 + 10, M = 998244353;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
 
struct Tree {
  ull hash, deg, ans;
  std::map<ull, ull> son;
 
  Tree() { clear(); }
 
  void add(Tree& o);
  void remove(Tree& o);
  void clear();
};
 
ull inv(ull x) {
  ull y = M - 2, z = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) {
      z = z * x % M;
    }
    x = x * x % M;
    y >>= 1;
  }
  return z;
}
 
ull shift(ull x) {
  x ^= mask;
  x ^= x << 13;
  x ^= x >> 7;
  x ^= x << 17;
  x ^= mask;
  return x;
}
 
void Tree::add(Tree& o) {
  ull temp = shift(o.hash);
  hash += temp;
  ans = ans * ++deg % M * inv(++son[temp]) % M * o.ans % M;
}
 
void Tree::remove(Tree& o) {
  ull temp = shift(o.hash);
  hash -= temp;
  ans = ans * inv(deg--) % M * son[temp]-- % M * inv(o.ans) % M;
}
 
void Tree::clear() {
  hash = 1;
  deg = 0;
  ans = 1;
  son.clear();
}
 
std::vector<int> edge[N];
Tree sub[N], root[N];
std::map<ull, ull> trees;
 
void getSub(int x, int fa) {
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    getSub(i, x);
    sub[x].add(sub[i]);
  }
}
 
void getRoot(int x, int fa) {
  for (int i : edge[x]) {
    if (i == fa) {
      continue;
    }
    root[x].remove(sub[i]);
    root[i] = sub[i];
    root[i].add(root[x]);
    root[x].add(sub[i]);
    getRoot(i, x);
  }
  trees[root[x].hash] = root[x].ans;
}
 
using std::cin;
using std::cout;
 
int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int t, n;
  cin >> t;
  while (t--) {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      int u, v;
      cin >> u >> v;
      edge[u].push_back(v);
      edge[v].push_back(u);
    }
    getSub(1, 0);
    root[1] = sub[1];
    getRoot(1, 0);
    ull tot = 0;
    for (auto p : trees) {
      tot = (tot + p.second) % M;
    }
    cout << tot << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      edge[i].clear();
      sub[i].clear();
      root[i].clear();
    }
    trees.clear();
  }
}

参考资料

文中的哈希方法参考并拓展自博客 一种好写且卡不掉的树哈希。