堆排序

本页面将简要介绍堆排序。

定义

堆排序（英语：Heapsort）是指利用 二叉堆 这种数据结构所设计的一种排序算法。堆排序的适用数据结构为数组。

过程

堆排序的本质是建立在堆上的选择排序。

排序

首先建立大顶堆，然后将堆顶的元素取出，作为最大值，与数组尾部的元素交换，并维持残余堆的性质；

之后将堆顶的元素取出，作为次大值，与数组倒数第二位元素交换，并维持残余堆的性质；

以此类推，在第 $n-1$ 次操作后，整个数组就完成了排序。

在数组上建立二叉堆

从根节点开始，依次将每一层的节点排列在数组里。

于是有数组中下标为 i 的节点，对应的父结点、左子结点和右子结点如下：

iParent(i) = (i - 1) / 2;
iLeftChild(i) = 2 * i + 1;
iRightChild(i) = 2 * i + 2;

性质

稳定性

同选择排序一样，由于其中交换位置的操作，所以是不稳定的排序算法。

时间复杂度

堆排序的最优时间复杂度、平均时间复杂度、最坏时间复杂度均为 $O(n\log n)$。

空间复杂度

由于可以在输入数组上建立堆，所以这是一个原地算法。

实现

[list2tab]

• C++

  void sift_down(int arr[], int start, int end) {
    // 计算父结点和子结点的下标
    int parent = start;
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child <= end) {  // 子结点下标在范围内才做比较
      // 先比较两个子结点大小，选择最大的
      if (child + 1 <= end && arr[child] < arr[child + 1]) child++;
      // 如果父结点比子结点大，代表调整完毕，直接跳出函数
      if (arr[parent] >= arr[child])
        return;
      else {  // 否则交换父子内容，子结点再和孙结点比较
        swap(arr[parent], arr[child]);
        parent = child;
        child = parent * 2 + 1;
      }
    }
  }
   
  void heap_sort(int arr[], int len) {
    // 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
    for (int i = (len - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) sift_down(arr, i, len - 1);
    // 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕
    for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
      swap(arr[0], arr[i]);
      sift_down(arr, 0, i - 1);
    }
  }

• Python

  def sift_down(arr, start, end):
      # 计算父结点和子结点的下标
      parent = int(start)
      child = int(parent * 2 + 1)
      while child <= end:  # 子结点下标在范围内才做比较
          # 先比较两个子结点大小，选择最大的
          if child + 1 <= end and arr[child] < arr[child + 1]:
              child += 1
          # 如果父结点比子结点大，代表调整完毕，直接跳出函数
          if arr[parent] >= arr[child]:
              return
          else:  # 否则交换父子内容，子结点再和孙结点比较
              arr[parent], arr[child] = arr[child], arr[parent]
              parent = child
              child = int(parent * 2 + 1)
   
   
  def heap_sort(arr, len):
      # 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
      i = (len - 1 - 1) / 2
      while i >= 0:
          sift_down(arr, i, len - 1)
          i -= 1
      # 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕
      i = len - 1
      while i > 0:
          arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
          sift_down(arr, 0, i - 1)
          i -= 1

外部链接

• 堆排序 - 维基百科，自由的百科全书